Deformační energie a její hustota při prostorové napjatosti

Deformační energie a její hustota při prostorové napjatosti#

Definice deformační energie#

Deformační energie je energie, která se akumuluje v tělese v důsledku jeho pružné deformace působením vnějších sil.

Tato energie je při elastickém chování tělesa vratná – při odlehčení se uvolní a těleso se vrací do původního stavu.

Hustota deformační energie#

Hustota deformační energie pro jednoosou napjatost#

Předpokládejme, že máme sílu \(F\), která osově zatěžuje prut a způsobí deformaci \(\Delta l\). Práce vykonaná je proací elastické deformace

\[W = \frac{1}{2} F \Delta l \]

kdy vydělením objemem můžeme získat

\[w = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \sigma \varepsilon\]

Hustota deformační energie (\(w\)) je deformační energie vztažená na jednotkový objem materiálu.

Hustota deformační energie pro smykové zatížení#

Předpokládejme, že máme sílu \(T\), která osově zatěžuje materiál ve smyku a způsobí deformaci \(\Delta x\). Práce vykonaná je prací elastické deformace

\[W = \frac{1}{2} T \Delta x \]

kdy vydělením objemem můžeme získat

\[w = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{\Delta x}{y} = \frac{1}{2} \tau \gamma\]

Hustota deformační energie pro obecnou napjatost#

Pro případ lineárně elastického materiálu v 3D napjatosti ji lze vyjádřit jako:

\[ w = \frac{1}{2} (\sigma_x \varepsilon_x + \sigma_y \varepsilon_y + \sigma_z \varepsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{yz} \gamma_{yz} + \tau_{zx} \gamma_{zx}) \]

kde:

\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) jsou hlavní složky napětí,
\(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z\) jsou hlavní složky deformace,
\(\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}\) jsou smyková napětí,
\(\gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}\) jsou odpovídající smykové deformace.

Odvození ze zobecněného Hookova zákona#

V obecném tenzorovém zápisu (napětí a deformace jako tenzory druhého řádu) platí:

\[ w = \frac{1}{2} \, \boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} \]

kde operace \(:\) značí dvojitý skalární součin tenzorů, tedy:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} \]

Alternativní vyjádření pro izotropní materiál#

Při použití vztahů mezi napětím a deformací z lineární pružnosti (Hookův zákon pro izotropní materiály), lze hustotu deformační energie vyjádřit také pomocí pouze napětí:

\[ w = \frac{1 + \nu}{2E} (\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2) - \frac{\nu}{E} (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \frac{1}{2G} (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \]