Dynamika rotačního pohybu

Newtonův druhý zákon ve vektorové formě říká, že výsledná síla působící na těleso je rovna časové změně hybnosti:

\[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \]

kde \(\vec{p} = m \vec{v}\) je hybnost. Tuto rovnici nyní aplikujeme na rotační pohyb.

Moment síly a moment hybnosti

Pro rotační pohyb zavádíme veličiny:

• Moment síly (torque):
  Moment síly vzhledem k bodu \(O\) je definován jako:

  \[ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} \]

  kde \(\vec{r}\) je polohový vektor hmotného bodu vzhledem k bodu \(O\), \(\vec{F}\) je síla působící na těleso a \(\times\) značí vektorový součin.

• Moment hybnosti:
  Moment hybnosti hmotného bodu vůči bodu \(O\) je definován jako:

  \[ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) \]

  Pro soustavu více částic je celkový moment hybnosti dán součtem momentů hybnosti jednotlivých částic:

  \[ \vec{L}_O = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec{v}_i \]

2. Derivace momentu hybnosti

Aplikujeme časovou derivaci na moment hybnosti:

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_i (\vec{r}_i \times m_i \vec{v}_i) \]

Použijeme pravidlo derivace součinu:

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum_i \left( \frac{d\vec{r}_i}{dt} \times m_i \vec{v}_i + \vec{r}_i \times m_i \frac{d\vec{v}_i}{dt} \right) \]

Protože \(\frac{d\vec{r}_i}{dt} = \vec{v}_i\), platí:

\[ \vec{v}_i \times \vec{v}_i = 0 \]

takže první člen zmizí a zbývá:

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \frac{d\vec{v}_i}{dt} \]

Z Newtonova druhého zákona \(m_i \frac{d\vec{v}_i}{dt} = \vec{F}_i\) dostáváme:

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i \]

Člen na pravé straně je právě výsledný moment síly působící na těleso:

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O \]

což je obecná rovnice rotačního pohybu.

3. Speciální případ – rotační pohyb kolem pevné osy

Pokud se těleso otáčí kolem pevné osy, moment hybnosti lze vyjádřit jako:

\[ \vec{L} = I \vec{\omega} \]

kde:

• \(I\) je moment setrvačnosti kolem dané osy,

• \(\vec{\omega}\) je úhlová rychlost.

Dosadíme do základní rovnice:

\[ \vec{M} = \frac{d}{dt} (I \vec{\omega}) \]

Pokud je moment setrvačnosti konstantní, můžeme vytknout ( I ):

\[ \vec{M} = I \frac{d\vec{\omega}}{dt} = I \vec{\alpha} \]

kde \(\vec{\alpha}\) je úhlové zrychlení.