Rozšířený Hookeův zákon pro rovinnou napjatost#
Pro rovinnou napjatost je deformační odezva popsána následujícími rovnicemi:
Normálové deformace:#
\[
\varepsilon_x = \frac{1}{E} \left( \sigma_x - \nu \sigma_y \right)
\]
\[
\varepsilon_y = \frac{1}{E} \left( \sigma_y - \nu \sigma_x \right)
\]
Smyková deformace:#
\[
\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}
\]
kde:
\(E\) je Youngův modul pružnosti,
\(G = \frac{E}{2(1+\nu)}\) je modul pružnosti ve smyku,
\(\nu\) je Poissonovo číslo,
\(\varepsilon_x, \varepsilon_y\) jsou normálové deformace ve směrech \(x\) a \(y\),
\(\gamma_{xy}\) je smyková deformace.
Maticové vyjádření#
V maticovém tvaru lze Hookeův zákon pro rovinnou napjatost zapsat jako:
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\gamma_{xy}
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{E}
\begin{bmatrix}
1 & -\nu & 0 \\
-\nu & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2(1+\nu)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\tau_{xy}
\end{bmatrix}
\end{split}\]