Dimenzování nosníků při kombinaci ohybu a krutu

Nosníky v praxi často nejsou vystaveny pouze čistému ohybu nebo krutu, ale kombinaci těchto zatížení. Typickým případem jsou například hřídele, konzoly zatížené mimo hlavní roviny nebo nosníky s excentrickým zatížením. Kombinace ohybového momentu \(M\) a krouticího momentu \(T\) vede ke složenému napjatému stavu, který je třeba zohlednit při návrhu.

Krok 1: Výpočet normálového napětí z ohybu

Ohybový moment \(M\) způsobuje normálové napětí ve vlákně vzdáleném \(y\) od neutrální osy podle vztahu:

\[ \sigma = \frac{M y}{I} \]

kde:

• \(\sigma\) je normálové napětí,

• \(M\) je ohybový moment,

• \(y\) je vzdálenost od neutrální osy,

• \(I\) je moment setrvačnosti průřezu nosníku.

Krok 2: Výpočet smykového napětí z krutu

Krouticí moment \(T\) způsobuje smykové napětí v příčném průřezu:

\[ \tau = \frac{T \rho}{J} \]

kde:

• \(\tau\) je smykové napětí,

• \(T\) je krouticí moment,

• \(\rho\) je vzdálenost od středu průřezu (osy rotace),

• \(J\) je polární moment setrvačnosti průřezu.

Krok 3: Výpočet redukovaného napětí (von Misesovo napětí)

Pro posouzení pevnosti v kombinovaném napjatém stavu (normálové + smykové napětí) použijeme hypotézu von Mises. Redukované napětí je dáno vztahem:

\[ \sigma_{red} = \sqrt{\sigma^2 + 3 \tau^2} \]

Tento vztah kombinuje účinek normálového a smykového napětí a používá se pro materiály podléhající meznímu stavu podle teorie plasticity.

Krok 4: Porovnání s mezním napětím

Navržený průřez je bezpečný, pokud platí:

\[ \sigma_{red} \leq \sigma_{d} \]

kde:

• \(\sigma_{d}\) je dovolené (mezní) napětí materiálu.