Moment síly

Moment síly#

Definice momentu síly#

Moment síly je vektorová veličina, která popisuje otáčivý účinek síly na těleso. Umožňuje nám analyzovat, jak síla ovlivňuje rotaci tělesa kolem dané osy.

Moment síly \(\mathbf{M}\) vzhledem k bodu O je definován jako vektorový součin polohového vektoru \(\mathbf{r}\) a síly \(\mathbf{F}\):

\[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

Kde:

  • \(\vec{M}\) je moment síly (vektor)

  • \(\vec{r}\) je polohový vektor od bodu O k působišti síly \(\mathbf{F}\)

  • \(\vec{F}\) je síla (vektor)

  • \(\times\) označuje vektorový součin

Vlastnosti vektoru momentu síly#

  • Velikost: Velikost momentu síly je dána vztahem:

    \[|\vec{M}| = |\vec{r}| |\vec{F}| \sin(\theta)\]

    kde \(\theta\) je úhel mezi vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\).

  • Směr: Směr momentu síly je kolmý k rovině určené vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\). Určuje se pomocí pravidla pravé ruky: Pokud prsty pravé ruky ukazují směr otáčení od vektoru \(\vec{r}\) k vektoru \(\vec{F}\), palec ukazuje směr momentu síly.

  • Jednotky: Jednotkou momentu síly je newtonmetr (Nm).

Moment síly v rovině#

V rovině (2D) můžeme moment síly \(\vec{M}\) vypočítat pomocí maticového zápisu. Předpokládejme, že máme polohový vektor \(\vec{r} = (x, y)\) a sílu \(\vec{F} = (F_x, F_y)\).

Vektorový součin ve 2D lze zapsat jako determinant matice:

\[\begin{split}\vec{M} = \begin{vmatrix} \vec{k} & \vec{i} & \vec{j} \\ 0 & x & y \\ 0 & F_x & F_y \end{vmatrix}\end{split}\]

Kde:

  • \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru os x, y a z.

Vyjádřením determinantu získáme:

\[\vec{M} = \vec{k} (x F_y - y F_x)\]

Vektor \(\vec{k}\) ukazuje, že moment síly směřuje kolmo k rovině xy (tj. ve směru osy z).

V 2D nás obvykle zajímá pouze velikost momentu síly, která je dána skalární hodnotou:

\[M = x F_y - y F_x\]

Znaménková konvence ve 2D#

  • Moment síly, který způsobuje otáčení proti směru hodinových ručiček, je obvykle považován za kladný.

  • Moment síly, který způsobuje otáčení ve směru hodinových ručiček, je obvykle považován za záporný.

Varignonova věta#

Moment výslednice soustavy sil vzhledem k danému bodu se rovná součtu momentů jednotlivých sil této soustavy vzhledem k témuž bodu.

Matematicky, pokud máme soustavu sil \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, ..., \vec{F}_n\) působících na těleso a jejich výslednici \(\vec{R}\), pak moment výslednice \(\vec{M}_R\) vzhledem k bodu O je dán vztahem:

\[\vec{M}_R = \vec{r} \times \vec{R} = \sum_{i=1}^{n} (\vec{r}_i \times \vec{F}_i) = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + ... + \vec{M}_n\]

kde:

  • \(\vec{M}_R\) je moment výslednice \(\vec{R}\) vzhledem k bodu O.

  • \(\vec{r}\) je polohový vektor od bodu O k působišti výslednice \(\vec{R}\).

  • \(\vec{r}_i\) je polohový vektor od bodu O k působišti síly \(\vec{F}_i\).

  • \(\vec{M}_i\) je moment síly \(\vec{F}_i\) vzhledem k bodu O.

  • \(\vec{R}\) je výslednice sil \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, ..., \vec{F}_n\).

Význam#

  • Zjednodušení výpočtů: Varignonova věta umožňuje nahradit výpočet momentu výslednice, který může být složitý, výpočtem součtu momentů jednotlivých sil.

  • Analýza rovnováhy: Pomáhá při analýze rovnováhy tělesa, protože součet momentů sil působících na těleso musí být nulový pro rotační rovnováhu.