Nucené kmitání

Nucené kmitání#

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

Nucené kmitání#

Nucené kmitání je druh mechanického kmitání, které vzniká působením vnější síly na oscilující systém. Na rozdíl od volného kmitání, kde systém kmitá pouze pod vlivem počátečních podmínek, u nuceného kmitání existuje vnější excitace, která udržuje pohyb.

Harmonická excitace#

Nejčastěji uvažovaným typem excitace je harmonická síla, která má tvar sinusové nebo kosinusové funkce času:

\[ F(t) = F_0 \cos(\omega t) \]

kde:

  • \(F_0\) je amplituda budicí síly,

  • \(\omega\) je úhlová frekvence excitace,

  • \(t\) je čas.

Tato excitace se vyskytuje například u rotačních strojů, kde dochází k periodickému působení síly.

Pohybová rovnice pro netlumené harmonické kmitání#

Uvažujme mechanický oscilátor s hmotností (m), který je připojen k pružině s tuhostí (k) a podléhá vnější harmonické síle (F(t)). Pohybová rovnice vychází z druhého Newtonova zákona:

\[ m \ddot{x} = -k x + F_0 \cos(\omega t) \]

Po úpravě dostáváme diferenciální rovnici nuceného kmitání:

\[ m \ddot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) \]

Často se zavádí vlastní úhlová frekvence oscilátoru:

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

a rovnice se přepíše do tvaru:

\[ \ddot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) \]

Tato rovnice popisuje nucené netlumené kmitání pod vlivem harmonické excitace.

Řešení pohybové rovnice pro netlumené harmonické kmitání#

Obecné řešení pohybové rovnice se skládá ze dvou částí:

  1. Obecné řešení homogenní rovnice (odpovídá volnému kmitání):

    \[ x_h(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t) \]

    kde \(C_1\) a \(C_2\) jsou integrační konstanty určené z počátečních podmínek.

  2. Partikulární řešení (odpovídá nucenému kmitání způsobenému vnější silou):

    Hledáme partikulární řešení ve tvaru:

    \[ x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \]

    Dosazením do diferenciální rovnice:

    \[ -A \omega^2 \cos(\omega t) - B \omega^2 \sin(\omega t) + \omega_0^2 (A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)) = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) \]

    Porovnáním koeficientů u (\cos(\omega t)) a (\sin(\omega t)) dostáváme soustavu:

    \[ (\omega_0^2 - \omega^2) A = \frac{F_0}{m}, \quad (\omega_0^2 - \omega^2) B = 0 \]

    Z druhé rovnice plyne ( B = 0 ), a tedy:

    \[ A = \frac{F_0 / m}{\omega_0^2 - \omega^2} \]

    za předpokladu, že (\omega \neq \omega_0) (tj. nejsme v rezonanci).

Celkové řešení#

Celkové řešení pohybové rovnice je dáno součtem homogenního a partikulárního řešení:

\[ x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t) + \frac{F_0 / m}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t). \]

První dva členy odpovídají přechodnému stavu, který po určité době odezní, zatímco poslední člen popisuje ustálené nucené kmitání.

Rezonance#

Rezonance je jev, který nastává, když budicí frekvence \(\omega\) vnější síly působící na oscilátor se rovná vlastní frekvenci systému \(\omega_0\). V tomto případě dochází k prudkému nárůstu amplitudy kmitání.

Pokud \(\omega \to \omega_0\), jmenovatel ve výrazu pro amplitudu partikulárního řešení \(\frac{F_0 / m}{\omega_0^2 - \omega^2}\) se blíží nule, což znamená, že amplituda oscilací se teoreticky blíží nekonečnu. Tento jev se nazývá rezonance a v reálných systémech je omezován tlumením.

Jednoduché odvození rezonance#

Předpokládejme, že jak síla, tak kmitání je ve fázi a kmitání oscilítoru můžeme popsat rovnicí

\[x(t)= A \cos \omega t\]

dosazením do poybové rovnice získáme

\[ \ddot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega_0 t) \]
\[ - A \omega^2 \cos \omega t + A \omega_0^2 \cos \omega t = \frac{F_0}{m} \cos(\omega_0 t) \]

pro amplitudu kmitů v rezonanci nám plyne

\[ A = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega^2 - \omega_0^2} \]

Tlumené nucené kmity#

Při tlumeném nuceném kmitání působí na oscilátor síla třech typů:

  1. Vrátná síla pružiny podle Hookova zákona: \(F_k = - k x\).

  2. Tlumící síla úměrná rychlosti: \(F_t = - b \dot{x}\).

  3. Budicí síla harmonického charakteru: \(F = F_0 \cos(\omega t)\).

Newtonův druhý zákon dává pohybovou rovnici:

\[ m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F_0 \cos(\omega t). \]

Zavádíme:

  • Vlastní kruhovou frekvenci \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\),

  • Součinitel tlumení \(\zeta = \frac{b}{2m\omega_0}\),

  • Budicí sílu na jednotku hmotnosti \(f = \frac{F_0}{m}\).

Pohybová rovnice se pak přepíše do tvaru:

\[ \ddot{x} + 2\zeta\omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = f \cos(\omega t). \]

Řešení rovnice#

Celkové řešení \(x(t)\) se skládá ze dvou složek:

  1. Homogenní řešení \(x_h(t)\) odpovídající volnému tlumenému kmitání.

  2. Partikulární řešení \(x_p(t)\), které odpovídá ustálenému nucenému pohybu.

Homogenní řešení#

Řešíme rovnici:

\[ \ddot{x} + 2\zeta\omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0. \]

Charakteristická rovnice:

\[ \lambda^2 + 2\zeta\omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0. \]

Řešení závisí na velikosti \(\zeta\):

  • Podkritické tlumení \(\zeta < 1\): oscilace s exponenciálním útlumem,

    \[ x_h(t) = e^{-\zeta \omega_0 t} (C_1 \cos(\omega_d t) + C_2 \sin(\omega_d t)), \]

nebo $\( x_h(t) = e^{-\zeta \omega_0 t} C \cos(\omega_d t + \psi), \)$

kde $\(\omega_d = \omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2}\)$ je tlumená frekvence.

  • Kritické a nadkritické tlumení: neoscilující pohyb.

Partikulární řešení#

Hledáme ve tvaru:

\[ x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t). \]

První derivace:

\[ \dot{x}_p(t) = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t) \]

Druhá derivace:

\[ \ddot{x}_p(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t) - B \omega^2 \sin(\omega t). \]

Nyní dosadíme \(x_p(t)\), \(\dot{x}_p(t)\) a \(\ddot{x}_p(t)\) do rovnice:

\[ (-A \omega^2 \cos(\omega t) - B \omega^2 \sin(\omega t)) + 2\zeta\omega_0 (-A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t)) + \omega_0^2 (A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)) = f \cos(\omega t). \]

Rozepíšeme členy:

\[ (-A \omega^2 + A \omega_0^2) \cos(\omega t) + (-B \omega^2 + B \omega_0^2) \sin(\omega t) + (-2\zeta\omega_0 A \omega) \sin(\omega t) + (2\zeta\omega_0 B \omega) \cos(\omega t) = f \cos(\omega t). \]

Seskupíme členy podle funkcí \(\cos(\omega t)\) a \(\sin(\omega t)\):

\[ (A (\omega_0^2 - \omega^2) + 2\zeta\omega_0 B \omega) \cos(\omega t) + (B (\omega_0^2 - \omega^2) - 2\zeta\omega_0 A \omega) \sin(\omega t) = f \cos(\omega t). \]

Protože rovnice musí platit pro všechna ( t ), porovnáme koeficienty u (\cos(\omega t)) a (\sin(\omega t)):

  1. Pro \(\cos(\omega t)\):

    \[ A (\omega_0^2 - \omega^2) + 2\zeta\omega_0 B \omega = f \]

  2. Pro \(\sin(\omega t)\):

    \[ B (\omega_0^2 - \omega^2) - 2\zeta\omega_0 A \omega = 0 \]

Z druhé rovnice vyjádříme \(B\):

\[ B = \frac{2\zeta\omega_0 A \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ A (\omega_0^2 - \omega^2) + 2\zeta\omega_0 \cdot \frac{2\zeta\omega_0 A \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \omega = f \]

Vytkneme \(A\):

\[ A \left( (\omega_0^2 - \omega^2) + \frac{4\zeta^2\omega_0^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) = f \]

Dáme na společného jmenovatele:

\[ A \frac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}{\omega_0^2 - \omega^2} = f \]

Odtud vyjádříme \(A\):

\[ A = \frac{f (\omega_0^2 - \omega^2)}{D}, \]

kde

\[ D = (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2. \]

Podobně pro \(B\):

\[ B = \frac{f (2\zeta\omega_0\omega)}{D}. \]

Celková amplituda:

\[ X = \frac{f}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}. \]

Fázový posun:

\[ \tan \phi = \frac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}. \]

Celkové řešení#

Celkové řešení je:

\[ x(t) = e^{-\zeta \omega_0 t} (C_1 \cos(\omega_d t) + C_2 \sin(\omega_d t)) + X \cos(\omega t - \phi). \]

V ustáleném stavu převažuje nucená složka \(X \cos(\omega t - \phi)\). Při rezonanci \((\omega \approx \omega_0)\) se amplituda maximálně zvětší, ale není nekonečná díky tlumení.