Redukované napětí při prostorové napjatosti

Redukované napětí při prostorové napjatosti#

Při prostorové napjatosti se pro posouzení plastické deformace často používá redukované napětí podle von Misesovy teorie. Tento přístup umožňuje nahradit složitý stav napjatosti jedním skalárním napětím, které lze porovnat s mezí kluzu materiálu.

Von Misesovo redukované napětí (3D)#

\[ \sigma_{\text{vm}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \right] } \]

Pokud známe hlavní napětí \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\), pak lze von Misesovo redukované napětí zapsat ve zjednodušeném tvaru:

\[ \sigma_{\text{vm}} = \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right] } \]

Postup výpočtu:#

  1. Získej hodnoty složek napjatosti:

    • Normálová napětí: \(\sigma_{xx}\), \(\sigma_{yy}\), \(\sigma_{zz}\)

    • Smyková napětí: \(\tau_{xy}\), \(\tau_{yz}\), \(\tau_{zx}\)

  2. Dosazení do vztahu pro \(\sigma_{\text{vm}}\)

  3. Porovnání s mezí kluzu materiálu \(\sigma_k\):

    • Pokud \(\sigma_{\text{vm}} < \sigma_k\): elastická oblast

    • Pokud \(\sigma_{\text{vm}} \geq \sigma_k\): plastická deformace

Zjednodušené případy#

Rovinná napjatost (2D)#

Pro rovinnou napjatost, kde \(\sigma_{zz} = \tau_{yz} = \tau_{zx} = 0\):

\[ \sigma_{\text{vm}} = \sqrt{ \sigma_{xx}^2 - \sigma_{xx} \sigma_{yy} + \sigma_{yy}^2 + 3 \tau_{xy}^2 } \]

Jednoosý tah#

Pouze \(\sigma_{xx} = \sigma\), ostatní složky jsou nulové:

\[ \sigma_{\text{vm}} = \sigma \]

Fyzikální význam#

Von Misesova teorie vychází z předpokladu, že materiál selže, když deformační energie smyku dosáhne kritické hodnoty. Proto je vhodná pro kovy a tvárné materiály.

Warning

Hydrostatický stav: \(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3\) $\( \sigma_{\text{vm}} = 0 \)$

Von Misesovo napětí nezávisí na hydrostatické složce napjatosti — závisí pouze na odchylkách od průměrného napětí, tedy na deviatorické složce.

https://www.researchgate.net/profile/Bolun-Liu-4/publication/365686447/figure/fig4/AS:11431281105503587@1670425728604/Distribution-of-von-Mises-stress-on-the-a-intact-femur-b-femur-after-implanting-a_W640.jpg

Distribution of von Mises stress on the (a) intact femur, (b) femur after implanting a solid Mayo stem and M1, M2, M3, (c) femur after implanting a solid CLS ste (d) femur after implanting a solid Fitmore stem. http://dx.doi.org/10.1016/j.jot.2022.11.001