Kinetická energie rotačního pohybu

Kinetická energie \( T \) soustavy hmotných bodů je dána součtem kinetických energií jednotlivých částic:

\[ E_k = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2 \]

kde:

• \( m_i \) je hmotnost i-té částice,

• \( v_i \) je její rychlost.

Předpokládejme tuhé těleso rotující kolem pevné osy s úhlovou rychlostí \( \omega \). Každý bod tělesa se pohybuje po kruhové trajektorii kolem osy rotace. Rychlost bodu \( i \) lze vyjádřit pomocí úhlové rychlosti jako:

\[ v_i = \omega r_i \]

kde \( r_i \) je kolmá vzdálenost bodu od osy rotace.

Dosadíme do výrazu pro kinetickou energii:

\[ E_k = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\omega r_i)^2 \]

\[ E_k = \frac{1}{2} \omega^2 \sum_i m_i r_i^2 \]

Výraz \( \sum_i m_i r_i^2 \) odpovídá definici momentu setrvačnosti \( I \):

\[ I = \sum_i m_i r_i^2 \]

Dosazením dostáváme konečný vztah pro kinetickou energii rotačního pohybu:

\[ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

Tento vztah je analogický výrazu pro kinetickou energii translačního pohybu:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

kde hmotnost \( m \) odpovídá momentu setrvačnosti \( I \) a rychlost \( v \) je nahrazena úhlovou rychlostí \( \omega \).