1. cvičení#
Vektorová algebra#
Vektor \(\vec{a}\) představuje posun 5,0 m na východ. Pokud vektor \(\vec{b}\) představuje 10,0 m posunutí na sever, najděte součet dvou posunutí (\(\vec{R}\)) a určete jeho velikost.
Určete složky \(x\) a \(y\) posunutí, jehož velikost je 30,0 m pod úhlem 23° od osy \(x\).
Na objekt působí dvě síly, ale v různých směrech. Například vy a váš přítel můžete oba tahat za provázky připevněné k jednomu dřevěnému bloku. Najděte velikost a směr výsledné síly za následujících okolností.
První síla má velikost 10 N a působí na východ. Druhá síla má velikost 4 N a působí na západ.
První síla má velikost 10 N a působí na východ. Druhá síla má velikost 4 N a působí na sever.
Vektor \(\vec{c}\) představuje posun v metrech vyjádřený v jednotkovém vektorovém zápisu jako
\[\vec{c} = 2 \vec{i} + 6 \vec{j} + 3 \vec{k}\]Vektor \(\vec{d}\) představuje druhé posunutí.
\[\vec{d} = 5 \vec{i} - 3 \vec{j} - 2 \vec{k}\]Najděte skalární a vektorový součin dvou vektorů a úhel mezi nimi.
Dokažte, že pro vektor \(\vec{v}\) existují reálne čísla \(r,s\) a \(t\) tak ,aby \(\vec{v} = r \vec{a} + s \vec{b} + t (\vec{a}\times \vec{b})\) pro které platí
\[r = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b}) - (\vec{v}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})}{||\vec{a}\times\vec{b}) ||^2}\]\[s = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{a}) - (\vec{v}\cdot\vec{a})(\vec{a}\cdot\vec{b})}{||\vec{a}\times\vec{b}) ||^2}\]\[t = \frac{\vec{v}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})}{||\vec{a}\times\vec{b}) ||^2}\]Prokažte, že vektor \(r \vec{a} + s \vec{b} + t (\vec{a}\times \vec{b})- \vec{v}\) je kolmý na vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) a \(\vec{a}\times \vec{b}\)
Jaká je podmínka pro vektory \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), aby platilo vyjádření \(\vec{v}\) pro všechny vektory v 3D. (Řešení)
Běžec vyběhne 200 stejných schodů na vrchol kopce a poté běží po vrcholu kopce 50,0 m, než se zastaví u fontánky na pití. Jeho vektor posunutí z bodu A na spodní části schodů do bodu B u fontány je \(\vec{d}_{AB}= (-90,0\vec{i}+30,0\vec{j})\textrm{m}\)$. Jaká je výška a šířka každého kroku? Jaká je skutečná vzdálenost, kterou běžec urazí? Pokud udělá okruh a vrátí se do bodu A, jaký je jeho výsledný vektor posunutí?
Kinematika pohybu#
Na obrázku jsou čtyři grafy polohy a času lineárních pohybů autíček A, B, C a D.
Popište slovně pohyb každého vozu.
Určete průměrnou rychlost každého vozu v intervalu od 0 s do 4 s.
Určete okamžitou rychlost každého vozu v čase t = 4 s.
Na jednom obrázku nakreslete grafy rychlosti a času pro každé auto.
Určete celkové posunutí v t1 = 10 s každého vozu (včetně počátečního nenulového posunutí, pokud existuje), za předpokladu, že pohyb pokračuje se stejnou časovou závislostí, jak je znázorněno na obrázku.
Malý Honza vyrazil na kole po rovné silnici. Závislost zrychlení na čase je dána následující tabulkou:
\(t\) / \(10^{-1}\)s |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(a\) / ms\(^{-2}\) |
4,0 |
3,7 |
3,3 |
3,0 |
2,6 |
2,3 |
1,9 |
1,6 |
1,2 |
0,8 |
0,4 |
Nakreslete graf a určete tvar funkce a(t). Určete z něj průběh Honzíkovy rychlosti a závislosti polohy na čase.
Předpokládejme, že se Honzík se nepohyboval v čase \(t = 0\) s a byl v počátku souřadnicového systému.
Dynamika pohybu#
Vozík o hmotnosti 250 g na vzduchové dráze je tažen a urychlován provázkem přes pevnou kladku. Porovnejte velikost zrychlení v následujících scénářích:
Provázek táhneme silou 0,1 N.
Na provázek zavěsíme závaží o tíze 0,1 N.
Zanedbávejte odpor vzduchu a hmotnosti struny a kladky.
Poznámka: Vzduchová dráha je zařízení, které umožňuje pohyb vozíku bez tření. Vozík je zavěšen nad dráhou pomocí vzduchových trysek
Na kostku ledu o hmotnosti \(10 kg\) působí horizontální síla závislá na čase. Tato závislost je popsána vzorcem \(F_x = p(q − t)\) , kde \(p = 100\) Ns\(^{−1}\), \(q = 1\) s. V čase \(t = 0\) s byla kostka ledu na začátku naší vztažné soustavy, její rychlost byla 0,2 ms\(^{−1}\) a síla byla v souladu s její rychlostí. Kostka ledu se pohybuje po vodorovné ledové rovině bez tření.
Kdy a kde se kostka zastaví?
Předpokládejte, působící síla je konstantní \(F_x = p\) ale kostka se rozpouští a její hmotnost ubývá rychlostí 10 g s\(^(-1)\). Kdy a kde se kostka zastaví? Jaká bude celková dráha než se kostka úplně rozpustí?
Do sklenice s medem vložíme ocelovou kuličku o hmotnosti m = 1g. Odporová síla \(F\), která působí na kuličku, je přímo úměrná její rychlosti.
Určete maximální rychlost \(v_max\), které může kulička dosáhnout.
Určete průběh velikosti rychlosti \(v(t)\) kuličky.
Jakou dráhu urazí parašutista při seskoku než dosáhne maximální rychlost. Určete jeho maximální rychlost. Potřebné parametry odhadněte. Odoporovou sílu počítejte: $\(F_o = -\frac{1}{2} \rho C_d A v^2\)\( kde \)\rho\( je hustota prostředí, \)C_d\( je součinitel odporu, \)A\( je plocha tělesa a \)v$ je rychlost tělesa.
Při úplném sešlápnutí brzdového pedálu vozu pohybujícího se rychlostí 80 kmh\(^{-1}\) po rovné asfaltové silnici může vůz zastavit za 50 m. Jak dlouhá bude jeho brzdná dráha na stejné silnici, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 5°? Zvažte jak případ, kdy brzdí z kopce, tak i když brzdí do kopce. Předpokládejme, že v čase t = 0 s je souřadnice x = 0 m. Kola neprokluzují. Odpor vzduchu zanedbejte.
Zákony zachování#
Raketa ve vesmíru (bez působení gravitace) o hmotnosti \(m_r\)=2t je naložena palivem o hmotnosti \(m_p\)=12t. Raketa je poháněna raketovým motorem, jehož rychlost vystupujících plynů je 5000 kmh\(^{−1}\). Maximální povolené zrychlení posádky je 7\(G\), kde \(G\) znamená gravitační zrychlení.
Jaká je maximální možná spotřeba paliva za sekundu, jak dlouho může raketový motor při takové spotřebě pracovat a jaká je konečná rychlost rakety?
Záleží maximální dosažená rychlost na rychlosti spotřeby paliva?
Kulka o hmotnosti 10 g byla vypálena proti stacionárnímu dřevěnému bloku o hmotnosti 1 kg. Pronikl blokem do hloubky 10 cm. Kdyby byl dřevěný blok pohyblivý, jak hluboko by se střela dostala? Předpokládejme, že dřevo neustále odolává pohybu střely.