Pohyb v gravitačním poli

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib notebook

Odvoďme pohybové rovnice pro vrh šikmý a prozkoumejme jejich charakteristiky. Pro zjednodušení uvažujme prozatím rovinný pohyb, zanedbejme odpor vzduchu a gravitační zrychlení, \(g\)=9.8m/s\(^2\). Uvažujme těleso (které budeme považovat za hmotný bod) vržené do vzduchu s počátečním úhlem \(\theta\) vzhledem k horizontále (směr \(x\)) a počáteční rychlostí \(\vec{v_0}\).

Superpozice pohybu je princip, který říká, že pokud na těleso působí několik nezávislých pohybů současně, výsledný pohyb tělesa je součtem (superpozicí) těchto jednotlivých pohybů.

Caution

Princip superpozice platí, pokud jsou jednotlivé pohyby nezávislé na sobě. To znamená, že jeden pohyb neovlivňuje ostatní.

\[\begin{split} \begin{align} & x(t) = x_0 + v_0\cos(\theta)\:t \\ & y(t) = y_0 + v_0\sin(\theta)\:t - \frac{g\:t^2}{2} \\ & v_x(t) = v_0\cos(\theta) \\ & v_y(t) = v_0\sin(\theta) - g\:t \\ & a_x(t) = 0 \\ & a_y(t) = -g \label{eq_1} \end{align} \end{split}\]

Doba letu

Z rovnice pro vertikální rychlost lze vypočítat dobu letu, přičemž se využije vlastnosti, že v maximální výšce je vertikální rychlost nulová a doba stoupání se rovná době klesání.

\[ t_{flight} = \frac{2v_0\sin(\theta)}{g}\]

Maximální výška

Použitím právě vypočítané hodnoty doby letu a opětovným využitím faktu, že v maximální výšce má těleso nulovou vertikální rychlost, lze maximální výšku, \(h\), získat z rovnice pro vertikální polohu:

\[h = \frac{v_0^2\sin^2(\theta)}{2g} \]

Dosah

Dosah \(L\) můžeme určit z doby letu

\[ L = v_0\cos(\theta)\:t_{flight}\]

\[ L = v_0\cos(\theta)\ \frac{2 v_0^2\sin(\theta)}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\]

Trajektorie

Rovnice pro horizontální polohu v závislosti na čase je rovnicí přímky a pro vertikální polohu je rovnicí paraboly. Můžeme dokázat, že prostorová trajektorie (vertikální poloha v závislosti na horizontální poloze) je také parabolou, pokud použijeme obě rovnice pro polohu a eliminujeme proměnnou čas:

\[ y = y_0 + \tan(\theta)(x-x_0) - \frac{g}{2v_0^2cos^2(\theta)}(x-x_0)^2\]

kde \(y_0,\: x_0,\: \theta,\: v_0,\: g\) jsou konstanty a rovnice je rovnicí paraboly.

Optimalizace trajektorie

• Maximální délka \(\sin(2\theta)=1\) a tedy \(\theta=45^\circ\)

• Maximální výška \(\sin^2(\theta)=1\) a tedy \(\theta=90^\circ\)

Interaktivní simulace

from IPython.display import IFrame
IFrame('https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_en.html',
       width='100%', height=500)