Mechanická práce

Mechanická práce#

Pohybuje-li se těleso působením síly, koná se mechanická práce.

Značení:

  • Mechanická práce se obvykle značí písmenem W (z anglického “work”).

Jednotka:

  • V soustavě SI (Mezinárodní soustava jednotek) je jednotkou mechanické práce joule (čti džaul).

  • Značka joulu je J.

Definice joulu:

  • 1 joule (1 J) je práce vykonaná silou 1 newtonu (1 N) při posunutí tělesa o 1 metr (1 m) ve směru působící síly.

  • Matematicky: 1 J = 1 N ⋅ m

Další jednotky (méně časté):

  • erg: Používá se v soustavě CGS (centimetr-gram-sekunda). 1 erg = 10⁻⁷ J.

  • kilowatthodina (kWh): Používá se pro měření spotřeby elektrické energie. 1 kWh = 3,6 × 10⁶ J.

  1. Síla působí ve stejném směru jako pohyb tělesa

    \[W = F s \]

    kde \(F\) je velikost síly a \(s\) délka dráhy

  2. Síla působí v jiném směru než pohyb tělesa

    \[W = \vec{\mathbf{F}} \cdot \vec{\mathbf{s}} \]

    kde \(\vec{\mathbf{F}}\) je vektor síly a \(\vec{\mathbf{s}}\) je vektor posunutí. Jinými slovy práci koná složka síly rovnoběžná s trajektorií tělesa. V případě, že je síla konstatní a trajektorie je úsečka můžeme vyjádřit.

    \[W = F s \cos \alpha\]

    kde \(\alpha\) je je úhel mezi silou a trajektorií pohybu.

  3. Síla se mění nebo dráha je zakřivena

\[W = \int\limits_0^s \vec{\mathbf{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{s}} \]

Energie#

Kinetická energie#

Kinetická energie je energie spojená s pohybem objektu. Těleso v pohybu má kinetickou energii. Kinetická energie částice o hmotnosti m pohybující se rychlostí v je dána vztahem:

\[E_k = \frac{1}{2} m \vec{\mathbf{v}} \cdot \vec{\mathbf{v}}= \frac{1}{2} m v^2\]

kde \(v=|∣\vec{\mathbf{v}}∣|\) je velikost rychlosti. Pro systém částic je celková kinetická energie součtem kinetických energií všech jednotlivých částic:

\[E_k = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot{\vec{\mathbf{r}}}_i \cdot \dot{\vec{\mathbf{r}}}_i = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2\]

kde \(m_i\) je hmotnost \(i\)-té částice a \(\dot{\vec{\mathbf{r}}_i}\) je její rychlost

Potenciální energie#

Potenciální energie je energie spojená s konfigurací systému objektů. Představuje schopnost konat práci v důsledku polohy objektu v silovém poli. Potenciální energie je často spojena s konzervativními silami. Síla \(F\) je konzervativní, pokud práce vykonaná touto silou na částici pohybující se mezi dvěma body nezávisí na dráze.

Potenciální energie \(U\) spojená s konzervativní silou \(F\) je definována tak, že:

\[\mathbf{\vec{F}} = -\nabla U\]

kde \(\nabla\) je operátor gradientu. To znamená, že síla je záporný gradient potenciální energie. Změna potenciální energie mezi dvěma body se rovná záporné práci vykonané konzervativní silou při pohybu mezi těmito body.

Mezi běžné příklady potenciální energie patří:

  • Gravitační potenciální energie: Pro objekt o hmotnosti m blízko povrchu Země je gravitační potenciální energie:

    \[E_p = mgh\]

kde \(g\) je zrychlení v důsledku gravitace a \(h\) je výška nad referenční úrovní.

  • Elastická potenciální energie: Pro pružinu s konstantou tuhosti \(k\) protaženou nebo stlačenou o vzdálenost \(x\) z její rovnovážné polohy je elastická potenciální energie:

    \[U_e = \frac{1}{2} k x^2\]

Práce a energie#

Práce \(W\) vykonaná výslednou silou na částici, když se pohybuje z bodu A do bodu B, se rovná změně její kinetické energie:

\[ W = \Delta E_k = E_{kB} - E_{kA} \]

Pokud práci konají pouze konzervativní síly, pak můžeme práci spojit i se změnou potenciální energie:

\[ W = -\Delta U = -(U_B - U_A) = U_A - U_B\]

Kombinací těchto vztahů získáme zákon zachování mechanické energie:

\[\Delta E_k + \Delta U = 0 \quad \text{nebo} \quad E_{kA} + U_A =E_{kB} + U_B\]

To znamená, že celková mechanická energie (\(E=T+U\)) systému zůstává konstantní, pokud práci konají pouze konzervativní síly.

Výkon#

Výkon (\(P\)) je definován jako rychlost, s jakou je konána práce nebo se přenáší energie:

\[P = \frac{dW}{dt} = \vec{\mathbf{F}} \cdot \vec{\mathbf{v}}\]

Výkon se měří ve wattech (W), kde 1 W = 1 J/s.