Steinerova věta

Steinerova věta#

Definice Steinerovy věty#

Steinerova věta (také známá jako věta o posunutí osy) umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose, pokud je znám moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm.

Matematicky se vyjadřuje jako:

\[ I = I_C + M d^2 \]

kde:

  • \( I \) je moment setrvačnosti vzhledem k nové ose,

  • \( I_C \) je moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm,

  • \( M \) je celková hmotnost tělesa,

  • \( d \) je vzdálenost mezi těžišťovou osou a novou osou.

Odvození Steinerovy věty#

Předpokládejme tuhý objekt složený z malých hmotných elementů \( dm \), jejichž moment setrvačnosti chceme určit vůči ose posunuté o vzdálenost \( d \) od těžiště.

Každý hmotný element \( dm \) má souřadnice \( x_C, y_C \) v těžišťové soustavě a \( x, y \) v nové soustavě. Vztah mezi nimi je:

\[ x = x_C + d \]

Moment setrvačnosti vůči nové ose je:

\[ I = \int x^2 \, dm \]

Dosadíme \( x = x_C + d \):

\[ I = \int (x_C + d)^2 \, dm \]

Rozepíšeme druhou mocninu:

\[ I = \int (x_C^2 + 2 d x_C + d^2) \, dm \]

Rozdělíme integrál:

\[ I = \int x_C^2 \, dm + 2d \int x_C \, dm + d^2 \int dm \]

První člen \( \int x_C^2 \, dm \) je moment setrvačnosti vůči těžišťové ose:

\[ I_C = \int x_C^2 \, dm \]

Druhý člen \( \int x_C \, dm \) odpovídá prvnímu momentu hmotnosti vzhledem k těžišti, který je nulový:

\[ \int x_C \, dm = 0 \]

Třetí člen \( \int dm \) je celková hmotnost tělesa \( M \), takže:

\[ I = I_C + M d^2 \]

což je právě Steinerova věta.

Aplikace Steinerovy věty#

Steinerova věta je užitečná při výpočtech momentů setrvačnosti těles v případech, kdy osa rotace neprochází těžištěm. Například:

  • Tenká tyč délky \( L \), rotující kolem konce:
    Moment setrvačnosti kolem středu tyče je:

    \[ I_C = \frac{1}{12} M L^2 \]

    Pokud se osa posune o \( d = \frac{L}{2} \), pak:

    \[ I = \frac{1}{12} M L^2 + M \left(\frac{L}{2}\right)^2 \]
    \[ I = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{4} M L^2 = \frac{1}{3} M L^2 \]

    což odpovídá známému výsledku pro tyč rotující kolem jednoho konce.