Težiště

Těžiště je bod, ve kterém je soustředěna celková hmotnost tělesa nebo soustavy těles.

Těžiště to bod, ve kterém se těleso chová, jako by v něm byla soustředěna veškerá jeho hmotnost a je klíčovým konceptem ve statice a dynamice.

Diskrétní objekty

Pro soustavu diskrétních objektů (např. částic) s hmotnostmi \(m_i\) a polohovými vektory \(\vec{r}_i\) je poloha těžiště \(\vec{r}_T\) dána vztahem:

\[\vec{r}_T = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} m_i}\]

kde:

• \(n\) je počet objektů

• \(m_i\) je hmotnost i-tého objektu

• \(\vec{r}_i\) je polohový vektor i-tého objektu

V kartézských souřadnicích můžeme tento vztah rozepsat pro jednotlivé osy:

\[x_T = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}\]

\[y_T = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}\]

\[z_T = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}\]

Kontinuální objekty (integrály)

Pro kontinuální objekty (např. tělesa s proměnnou hustotou) se výpočet těžiště provádí pomocí integrálů:

\[\vec{r}_T = \frac{\int \vec{r} \, dm}{\int dm} = \frac{\int \vec{r} \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}\]

kde:

• \(dm\) je element hmotnosti

• \(\rho\) je hustota tělesa

• \(dV\) je element objemu

V kartézských souřadnicích:

\[x_T = \frac{\int x \, dm}{\int dm} = \frac{\int x \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}\]

\[y_T = \frac{\int y \, dm}{\int dm} = \frac{\int y \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}\]

\[z_T = \frac{\int z \, dm}{\int dm} = \frac{\int z \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}\]

Pro homogenní tělesa (konstantní hustota) se hustota \(\rho\) vykrátí a výpočet se zjednoduší na:

\[x_T = \frac{\int x \, dV}{\int dV}\]

\[y_T = \frac{\int y \, dV}{\int dV}\]

\[z_T = \frac{\int z \, dV}{\int dV}\]

kde \(\int dV\) je celkový objem tělesa.