Napětí v tenkostěnných nádobách

Laplaceova rovnice pro tenkostěnné nádoby popisuje vztah mezi vnitřním tlakem \(p\), poloměrem zakřivení nádoby a napětím ve stěně nádoby. Tento vztah je důležitý v biomechanice (např. pro modelování cév), strojírenství i materiálovém inženýrství.

Prvotní rozdělení úloh se provádí podle poměru tloušťky stěn k celkovému rozměru nádoby. Je-li označen nejmenší vnitřní poloměr křivosti nádoby \(R_{min}\) a tloušťka stěny \(t\), můžeme označit

• \(\frac{R_{min}}{t} < 10\) - mluvíme o tenkostěnných nádobách

• \(\frac{R_{min}}{t} > 10\) - mluvíme o tlustostěnných nádobách

U tenkostěnných nádob nemusíme vnitřní a vnější poloměry, ale pro výpočet postačí střední poloměr. Vzhledem k malé tloušťce stěny je napjatost v tenkostěnných nádobách považována za rovinnou (dvojosou), i když na vnitřním povrchu působí tlak p. Protože ve stěně není uvažován vznik smykových napětí, budou dvě vznikající napětí přímo hlavními napětími uvažované napjatosti, která se také nazývá membránovou.

Budeme dále uvažovat výhradně tenkostěnné nádoby. Problematika napjatosti v tlustostěnných nádobách jde nad rámec našho kurzu. Předpokládejme nádobu se dvěma hlavními poloměry křivosti \(R_1\) a \(R_2\) (leží ve dvou navzájem kolmých rovinách, které odpovídají směrům hlavního napětí, jedná se o takzvané hlavní křivosti), tloušťkou stěny \(t\) a vnitřním přetlakem \(p\).

Note

U tenkostěnných nádob nemusíme uvažovat vnitřní a vnější poloměry, protože \(t\ll R_1,E_2\). Vzhledem k malé tloušťce stěny je napjatost v tenkostěnných nádobách považována za rovinnou (dvojosou), i když na vnitřním povrchu působí tlak \(p\). Protože ve stěně není uvažován vznik smykových napětí, budou dvě vznikající napětí přímo hlavními napětími uvažované napjatosti, která se také nazývá membránová napjatost.

Vztah mezi napjatostí ve stěne a tvarem nádoby se označuje jako Young-Laplaceova rovnice. Tuto rovnici odvodili přibližně současně Thomas Young (1804) a Simon Pierre de Laplace (1805). Níže je uvedeno stručné odvození této rovnice.

import numpy as np

Odvození na základě rovnováhy sil

Předpokládejme, že ve směru určeném křivostí \(R_1\) působí napětí \(\sigma_1\) a ve směru určeném křivostí \(R_2\) psobí najětí \(\sigma_2\). Z rovnováhy sil ve směru 1 plyne:

\[F_1 = 2 \sigma_1 R_2 \mathrm{d}\theta_2 t \sin \frac{\theta_1}{2} = \sigma_1 R_2 \mathrm{d}\theta_2 t \theta_1\]

a z rovnováhy sil ve směru 2 plyne

\[F_2 = 2 \sigma_2 R_1 \mathrm{d}\theta_1 t \sin \frac{\theta_2}{2} = \sigma_2 R_1 \mathrm{d}\theta_1 t \theta_2\]

kde jsme využili, že pro malý membránový element \(\theta \rightarrow 0\) platí \(\sin \theta \approx \theta\).

Rovnováhu sil ve směru normály k povrchu elementu můžeme vyjádřit

\[F_1 + F_2 = p A \]

a pro malý element platí

\[ \sigma_1 R_2 \mathrm{d}\theta_2 t \theta_1 + \sigma_2 R_1 \mathrm{d}\theta_1 t \theta_2 = p R_1 \mathrm{d}\theta_1 R_2 \mathrm{d}\theta_2\]

Z čeho plyně, že napjatost nezáleří na rozměru elementu ale můžeme jí popsat vztahem

\[\frac{\sigma_1}{R_1} + \frac{\sigma_2}{R_2} = \frac{p}{t} \]

kde:

• \(\sigma_{1,2}\) jsou hlavní napětí ve stěně nádoby,

• \(p\) je vnitřní tlak,

• \(R_{1,2}\) jsou hlavní poloměry zakřivení stěny nádoby,

• \(t\) je tloušťka stěny nádoby,

Laplaceova rovnice říká, že:

• Čím větší tlak působí uvnitř nádoby, tím větší je napětí ve stěně.

• Čím větší je poloměr nádoby, tím větší napětí musí stěna vydržet.

• Čím silnější (tlustší) je stěna nádoby, tím menší napětí v ní vzniká.

Caution

Hlavní napětí jsou normálová napětí působící na hlavních rovinách materiálu, kde nejsou žádná smyková napětí. Označujeme je jako \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) a \(\sigma_3\) a řadíme je podle velikosti

\[\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3\]

Pro tenkostěnnou nádobu je \(\sigma_3 \approx 0\), protože \(t \ll R\). Oba zbylá napětí jsou tahová. Jejich hodnotu určuje velikost poloměru.

Odvození na základě energie deformace

Uvažujme malý element zakřiveného povrchu s kartézskými rozměry \(x\) a \(y\). Na normále \(n\) lze sestrojit dva oblouky, které mají délky \(x\) a \(y\) a ploměry \(R_1\) a \(R_2\).

Platí $\(x = \theta_1 R_1\)\( a \)\(y = \theta_2 R_2\)$

Při zvětšení poloměrů křivosti o malou hodnotu \(dR\) je vykonaná práce \(dW\):

\[ dW = \sigma_1 t y dx + \sigma_2 t x dy \]

kde $\(dA = x dy + y dx \)$ kde:

• \(dA\) je přírůstek povrchové plochy.

Tato práce je vykoná tlak \(p\). Podle termodynamiky ji lze také vyjádřit jako:

\[ dW = p \, dV \]

kde \(dV\) je elementární změna nádoby.

\[ dV = x y dR\]

Z těchto vztahů lze vyjádřit tlak \(p\):

\[ p = \frac{\sigma_1 t y dx + \sigma_2 t x dy }{x y dR} \]

\[ p = \sigma_1\frac{dx}{x dR}+ \sigma_2\frac{dy}{y dR} \]

Z geometrie nám platí

\[ \frac{dx}{dR} = \theta_1 = \frac{x}{R_1} \]

a tedy

\[ \frac{p}{t} = \frac{\sigma_1}{R_1} + \frac{\sigma_2}{R_2} \]

Kulová nádoba

Pro tenkostěnnou sférickou nádobu s poloměrem \(R\) a tloušťkou \(t\) platí

\[R_1 = R_2 = R \]

Po úpravě dostáváme Laplaceovu rovnici pro kulovou nádobu:

\[ \sigma = \frac{p R}{2t} \]

Uzavřená válcová nádoba

Uvažujme nyní tenkostěnnou válcovou trubici s poloměrem \(R\) a tloušťkou \(t\). Napětí ve stěně lze analyzovat ve dvou směrech:

1. Podélné napětí (\(\sigma_z\))

Rovnováha sil ve směru osy nádoby ukazuje, že podélné napětí musí vyrovnat sílu působící na kruhový řez:

\[ p \pi R^2 = \sigma_z 2\pi R t \]

Po úpravě:

\[ \sigma_z = \frac{p R}{2t} \]

2. Obvodové (tangenciální) napětí \(\sigma_{\theta}\)

je možné přímo určit z Laplaceovy rovnice, protože \(R_1=R, R_2=0\).

\[ \frac{p}{t} = \frac{\sigma_\theta}{R} \]

\[ \sigma_\theta = \frac{p R}{t} \]

Aplikace Laplaceovy rovnice

Biomechanika cév

V cévách platí vztah:

\[ \sigma = \frac{p R}{t} \]

Tento vztah vysvětluje:

• Větší tepny musí mít silnější stěnu, protože pro stejný krevní tlak je jejich poloměr větší, a tedy i napětí ve stěně roste.

• Aneuryzma (výduť cévy): Pokud se céva lokálně rozšíří (zvětší se \(R\)), napětí ve stěně se zvýší, což vede k dalšímu rozšiřování a možnému prasknutí cévy.

Plíce a alveoly

Alveoly v plicích jsou téměř kulové a jejich povrch je pokryt tenkým filmem kapaliny. Povrchové napětí této kapaliny vytváří tlak, který je popsán Laplaceovou rovnicí:

\[ p = \frac{2 \gamma}{R} \]

kde \(\gamma\) je povrchové napětí. To znamená:

• Menší alveoly vyžadují větší tlak pro nafouknutí, což by mohlo způsobit jejich kolaps.

• Surfaktant (biologická látka v plicích) snižuje povrchové napětí, čímž pomáhá udržovat rovnováhu mezi různě velkými alveoly.

Tlakové nádoby

• Válcové tlakové nádoby (např. plynové lahve) mají větší napětí v obvodovém směru než v podélném směru, což vysvětluje jejich konstrukci.

• Kulové tlakové nádoby (např. balónky) mají rovnoměrnější rozložení napětí, což je výhodné při vysokých vnitřních tlacích.