Dynamické rovnice pohybu v rovině a rotační pohyb

Dynamické rovnice pohybu v rovině a rotační pohyb#

Pohyby těles v rovině a rotační pohyby mohou být analyzovány pomocí Newtonových rovnic a d’Alembertových rovnic, jak pro translační, tak i pro rotační pohyb. Tyto přístupy umožňují popis sil a momentů, které určují pohyb tělesa, a jsou základními nástroji pro mechaniku tuhých těles.

Newtonovy rovnice pohybu v rovině#

Pro translační pohyb v rovině platí:

Translační pohyb v rovině:#

Druhý Newtonův zákon pro pohyb v rovině se vyjadřuje jako:

\[ \vec{F} = m \vec{a} \]

Kde:

  • \( \vec{F} \) je vektor všech sil působících na těleso,

  • \( m \) je hmotnost tělesa,

  • \( \vec{a} \) je zrychlení tělesa.

Těleso se pohybuje podle složek v rovině, tedy v osách \( x \) a \( y \):

\[ F_x = m \frac{dv_x}{dt}, \quad F_y = m \frac{dv_y}{dt} \]

Rotační pohyb v rovině:#

Pro rotační pohyb kolem pevné osy v rovině platí analogie k translačnímu pohybu, ale místo sil se uplatňuje moment síly (torque), který způsobuje rotaci. Rotační Newtonova rovnice je:

\[ \vec{M} = I \vec{\alpha} \]

Kde:

  • \( \vec{M} \) je moment síly (torque) působící na těleso,

  • \( I \) je moment setrvačnosti tělesa,

  • \( \vec{\alpha} \) je úhlové zrychlení tělesa.

Pokud je těleso vystaveno momentu síly \( \vec{M} \), pak jeho úhlové zrychlení je dáno:

d’Alembertovy rovnice pohybu v rovině#

d’Alembertovy rovnice formulují pohyb v rovině a zahrnují jak translační, tak rotační pohyb pomocí inerciálních sil a momentů. Tento přístup je užitečný pro složité systémy, kde je potřeba zahrnout virtuální práce a složité interakce mezi silami a pohybem.

Translační pohyb v rovině:#

Pro translační pohyb je d’Alembertova rovnice ve tvaru:

\[ \vec{F} - m \vec{a} = 0 \]

kde \( \vec{F} \) je vektor sil působících na těleso a \( m \vec{a} \) je inerciální síla, která je záporná, protože je to síla potřebná k dosažení zrychlení tělesa. V rovině to bude:

\[ F_x - m \frac{dv_x}{dt} = 0, \quad F_y - m \frac{dv_y}{dt} = 0 \]

Rotační pohyb v rovině:#

Pro rotační pohyb použijeme analogický přístup, kde je d’Alembertova rovnice vyjádřena pro momenty síly a inerciální momenty:

\[ \vec{M} - I \vec{\alpha} = 0 \]