Příklad - dynamika jojo

Podle https://www.lehman.edu/faculty/anchordoqui/chapter21.pdf

Jojo o hmotnosti \(m\) má osu o poloměru \(b\) a cívku o poloměru \(R\). Jeho moment setrvačnosti kolem středu lze považovat za \(I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} m R^2\), a tloušťku provázku můžeme zanedbat. Yo-Yo je puštěno z klidu. Předpokládejte, že těžiště Yo-Yo klesá vertikálně a provázek je při odvíjení vertikální. Určete sílu v provázku, když Yo-Yo klesá?

Jak Yo-Yo klesá, otáčí se po směru hodinových ručiček. Krouticí moment kolem těžiště Yo-Yo je způsoben sílou v provázku a zvyšuje velikost úhlové rychlosti. Provázek určuje směr \(y\), osa \(x\) je vodorovně, a směr krouticího momentu je v záporném směru \(z\)-osy. Použijme pravidlo pravé ruky nebo vektorovou definici krouticího momentu:

\[\vec{M}_{\text{cm}} = \vec{r}_{\text{cm},T} \times \vec{T}\]

Kde:

\[\vec{r}_{\text{cm},T} = -b \vec{i}, \quad \vec{T} = T \vec{j}\]

Tedy krouticí moment je:

\[\vec{M}_{\text{cm}} = (-b \hat{i}) \times (T \hat{j}) = -bT \vec{k}\]

Nyní použijme Newtonův druhý zákon ve směru \(-\vec{j} \):

\[T - mg = m a_y\]

kde \(a_y\) je vertikální zrychlení Yo-Yo.

Použijme rotační rovnici pohybu pro Yo-Yo:

\[-bT = I_{\text{cm}} \alpha_z\]

Úhlová zrychlení \(\alpha_z\) a lineární zrychlení \(a_y\) jsou propojena podmínkou:

\[ a_y = b \alpha_z \]

Doplníme do vztahu:

\[ T - mg = mb \alpha_z \]

Vyřešme rotační rovnici pro \(\alpha_z\) a získáme:

\[ mg - T = \frac{mb^2 T}{I_{\text{cm}}} \]

Po zjednodušení:

\[ T = \frac{mg}{1 + \frac{mb^2}{I_{\text{cm}}}} = \frac{mg}{1 + \frac{2b^2}{R^2}} \]