Pohyb válce na nakloněné rovině

Homogenní válec s vnějším poloměrem \(R\) a hmotností \(m\) má moment setrvačnosti kolem středu hmotnosti

\[ I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M R^2 \]

Válec se uvolní z klidu a valí se bez prokluzu po nakloněné rovině se sklonem \(\beta\). Střed hmotnosti válce se při pohybu sníží o výšku \(h\). Nechť \(g\) je gravitační konstanta a součinitel statického tření mezi válcem a povrchem je \(\mu_s\). Jaká je velikost rychlosti středu hmotnosti válce při dosažení spodního bodu roviny? Příklad budeme řešit různými přístupy:

Pro popis pohybu zvolíme:

• Souřadnici \(x\) podél nakloněné roviny jako zobecněnou souřadnici.

• Úhel natočení \(\theta\) válce kolem jeho osy.

1. Pomocí rovnic rovnováhy vzhledem k těžišti válce.

2. Pomocí rovnic rovnováhy vzhledem k okažitému bodu otáčení

3. Pomocí zákona zachování energie

4. Pomocí Lagrange-Eulerových rovnic

5. Pomocí rovnic rovnováhy vzhledem ke středu souřadnic

První přístup: Rovnice pohybu a momenty sil

Použijeme Newtonův druhý zákon a podmínku momentu sil vzhledem ke středu hmotnosti. Souřadnicový systém je ve směru šikmé roviny. Z obrázku sil působících na válec vyplývají rovnice:

\[ m g \sin\beta - F_s = M a_x \]

\[ -N + m g \cos\beta = 0 \]

Pro moment síly kolem středu hmotnosti platí:

\[ F_s R = I_{\text{cm}} \alpha \]

Použijeme moment setrvačnosti \(I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M R^2\) a podmínku neprokluzujícího pohybu \(\alpha = \frac{a_x}{R}\):

\[ \frac{1}{2} F_s = m a_x \]

Dosaďme do pohybové rovnice:

\[ m g \sin\beta - \frac{1}{2} m a_x = m a_x \]

Řešením pro zrychlení dostáváme:

\[ a_x = \frac{2}{3} g \sin\beta \]

Nyní určeme rychlost ve spodním bodě pomocí vztahu mezi posunutím a zrychlením pro rovnoměrně zrychlený pohyb:

\[ v_x^2 = 2 a_x x_f \]

Protože válec se posunul vertikálně o \(h\) a horizontální posunutí na nakloněné rovině je \(x_f = \frac{h}{\sin\beta}\), dostáváme:

\[ v_x = \sqrt{2 \left(\frac{2}{3} g \sin\beta\right) \frac{h}{\sin\beta}} \]

\[ v_x = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \]

Síla tření je:

\[ F_s = \frac{1}{3} m g \sin\beta \]

A podmínka pro neprokluzování:

\[ \mu_s \geq \frac{1}{3} \tan\beta \]

Druhý přístup: Energetická metoda

Celková mechanická energie se zachovává, protože síla tření nevykonává práci. Počáteční potenciální energie je:

\[ U = m g h \]

Kinetická energie ve spodním bodě je součet translační a rotační energie:

\[ U_k = \frac{1}{2} m v_x^2 + \frac{1}{2} I_{\text{cm}} \omega^2 \]

Použijeme vztah $\(\omega = \frac{v_x}{R}\)$ a dosadíme moment setrvačnosti:

\[ U_k = \frac{1}{2} m v_x^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m R^2\right) \left(\frac{v_x}{R}\right)^2 \]

\[ U_k = \frac{1}{2} m v_x^2 + \frac{1}{4} m v_x^2 = \frac{3}{4} m v_x^2 \]

Z rovnosti energií:

\[ m g h = \frac{3}{4} m v_x^2 \]

Řešením dostáváme:

\[ v_x = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \]

Třetí přístup: Moment síly vzhledem k bodu dotyku

Zvolme pevný bod \(P\) v místě dotyku válce s podložkou. Moment síly tíhy vzhledem k bodu \(P\) je:

\[ M_P = R m g \sin\beta \]

Použijeme D’Alembertův princip zavedení fiktivní síly, která působí proti otáčení:

\[ R m g \sin\beta - R m a_x - I_{\text{cm}} \alpha = 0 \]

Použijeme \(I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} m R^2\) a \(\alpha = \frac{a_x}{R}\):

\[ R m g \sin\beta = \frac{1}{2} m R^2 \frac{a_x}{R} + R m a_x \]

\[ R m g \sin\beta = \frac{1}{2} m R a_x + R m a_x \]

\[ R m g \sin\beta = \frac{3}{2} m R a_x \]

\[ a_x = \frac{2}{3} g \sin\beta \]

A tedy:

\[ v_x = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \]

Čtvrtý přístup: Lagrange-Eulerovy rovnice

Translační kinetická energie středu hmotnosti:

\[ E_{\text{k,trans}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \]

Rotační kinetická energie kolem osy válce:

\[ E_{\text{k,rot}} = \frac{1}{2} I_{\text{cm}} \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m R^2 \right) \left( \frac{\dot{x}}{R} \right)^2 \]

\[ E_{\text{k,rot}} = \frac{1}{4} m \dot{x}^2 \]

Celková kinetická energie:

\[ E_k = E_{\text{k,trans}} + E_{\text{k, rot}} = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{4} m \dot{x}^2 = \frac{3}{4} m \dot{x}^2 \]

Potenciální energie:

\[ U = E_p = m g h = m g x \sin\beta \]

Obecný tvar Lagrangeovy rovnice:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]

Lagrangián:

\[ L = E_k - U = \frac{3}{4} m \dot{x}^2 - m g x \sin\beta \]

První derivace podle \(\dot{x}\):

\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{3}{2} M \dot{x} \]

Časová derivace:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{3}{2} M \ddot{x} \]

Derivace podle \(x\):

\[ \frac{\partial L}{\partial x} = - M g \sin\beta \]

Lagrangeova rovnice:

\[ \frac{3}{2} m \ddot{x} + m g \sin\beta = 0 \]

\[ \ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin\beta \]

Použijeme vztah pro rychlost:

\[ v_x^2 = 2 a_x x_f \]

\[ v_x = \sqrt{ 2 \left( \frac{2}{3} g \sin\beta \right) \frac{h}{\sin\beta} } \]

\[ v_x = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \]

Tento výsledek odpovídá řešení získanému jinými metodami.

Pátý přístup: Moment síly k fixnému bodu na nakloněné rovině

Kůli jednoduchosti si určíme bod \(P\) v počátku souřadnicového systému. Gravitační sílu rozložíme do složek

\[m\vec{g} = [m g \sin \beta, m g \cos \beta] \]

Moment gravitační síly je:

\[M_g = - R m g \sin \beta - x m g \cos \beta\]

Moment normálové síly je:

\[M_N = x N\]

Z rovnice ronováhy sil nám plyne

\[N = mg \cos \beta \]

a tedy

\[M_N = x mg \cos \beta \]

Moment hybnosti vzhledem k bodu P je

\[{L}_P = L_{cm} + {r}_{P,cm} m \vec{v} = I_{cm} \omega - R m v_x \]

Časová změna je rovna působícím momentům

\[\frac{d{L}_P}{dt} = I_{cm} \alpha - R m a_x = - R m g \sin \beta\]

Použijeme \(I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} m R^2\) a \(\alpha = -\frac{a_x}{R}\):

\[-\frac{1}{2} m R^2 \frac{a_x}{R} - R m a_x = - R m g \sin \beta\]

\[-\frac{1}{2} m R {a_x} - R m a_x = - R m g \sin \beta\]

\[ a_x = \frac{2}{3} g \sin\beta \]

a tedy:

\[ v_x = \sqrt{\frac{4}{3} g h} \]