Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti \(I\) vyjadřuje míru odporu tělesa proti změně rotačního pohybu kolem dané osy. Je analogií hmotnosti v translačním pohybu.

Matematicky je definován jako:

\[ I = \sum_i m_i r_i^2 \]

kde:

• \(m_i\) je hmotnost malého elementu tělesa,

• \(r_i\) je kolmá vzdálenost tohoto elementu od osy rotace.

V případě spojitého rozložení hmotnosti se přechází na integrál:

\[ I = \int r^2 \, dm \]

kde \(dm\) je infinitezimální hmotnostní element tělesa.

Odvození momentu setrvačnosti pro tenkou tyč rotující kolem jednoho konce

Zvolme tenkou homogenní tyč délky \(L\) a hmotnosti \(M\), která rotuje kolem jednoho konce.

1. Volíme diferenciální element \(dm\) jako malý kousek tyče délky \(dx\).

2. Hmotnostní hustota (lineární hustota) je:

   \[ \lambda = \frac{M}{L} \]

3. Diferenciální hmotnostní element je:

   \[ dm = \lambda \, dx = \frac{M}{L} dx \]

4. Moment setrvačnosti vůči jednomu konci je:

   \[ I = \int_0^L x^2 \, dm \]

   Dosadíme \(dm\):

   \[ I = \int_0^L x^2 \frac{M}{L} dx \]

5. Vyřešíme integrál:

   \[ I = \frac{M}{L} \int_0^L x^2 dx \]
   \[ I = \frac{M}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L \]
   \[ I = \frac{M}{L} \cdot \frac{L^3}{3} \]
   \[ I = \frac{1}{3} M L^2 \]

Tabulka typických momentů setrvačnosti

Těleso	Osa rotace	Moment setrvačnosti \( I \)
Bodová částice	ve vzdálenosti \( r \) od osy	\( m r^2 \)
Tenká tyč	kolem středu	\( \frac{1}{12} M L^2 \)
Tenká tyč	kolem konce	\( \frac{1}{3} M L^2 \)
Obdélníková deska	kolem středu, osa rovnoběžná s delší stranou \( a \)	\( \frac{1}{12} M a^2 \)
Obdélníková deska	kolem středu, osa rovnoběžná s kratší stranou \( b \)	\( \frac{1}{12} M b^2 \)
Plný válec	kolem centrální osy	\( \frac{1}{2} M R^2 \)
Plný válec	kolem osy v rovině základny	\( \frac{1}{4} M R^2 + \frac{1}{12} M H^2 \)
Dutý válec (tenkostěnný)	kolem centrální osy	\( M R^2 \)
Plná koule	kolem průměru	\( \frac{2}{5} M R^2 \)
Dutá koule (tenkostěnná)	kolem průměru	\( \frac{2}{3} M R^2 \)