Určení vnitřních sil a napětí - metoda řezu

Určení vnitřních sil a napětí - metoda řezu#

from IPython.display import YouTubeVideo

Normálové síly (\(N\)) a tahové nebo tlakové napětí (\(\sigma\))#

Součást namáhanou pouze silami v 1D, v ose součásti, označujeme jako prut. Průřez prutu může být kruhový (u tyče) nebo mít jiný tvar. Při působení vnějších axiálních sil (F) vznikají v prutu vnitřní síly (N) jako reakční síly.

Normálové (axiální) napětí \(\sigma\) lze obecně definovat poměrem:

\[\sigma = \frac{N}{A}\]

kde \(A\) je plochu příčného řezu [mm\(^2\)].

Protože síly a průřezy se v průběhu prutu mohou měnit, mění se také velikost vnitřních sil \(N\) a napětí \(\sigma\). Můžeme tedy napsat

\[N=N(x), \sigma = \sigma(x) \]

kde \(x\) je polohová souřadnice místa působení sil a napětí.

Metoda řezu#

Metoda řezu pro určení vnitřních sil u prutů namáhaných na tah#

Metoda řezu je základní analytický nástroj v mechanice kontinua, který umožňuje určit vnitřní síly v prutu nebo nosníku. Pro prut namáhaný na tah se tato metoda aplikuje následujícím způsobem:

  1. Identifikace zatížení: nejprve se stanoví všechny vnější síly působící na prut, včetně aplikovaných sil a reakcí v podporách.

  2. Volba řezu: prut se pomyslně rozřízne v místě, kde chceme určit vnitřní síly. Nejčastěji se volí řez v místě, kde dochází ke změně zatížení nebo geometrie průřezu. Polohu řezu určíme souřadnicí \(x\).

  3. Rozdělení na dvě části: po provedení mysleného řezu vzniknou dvě oddělené části prutu. Každá část musí být v rovnováze, což znamená, že na řezné ploše se objeví vnitřní síla, která udržuje rovnováhu s vnějšími silami.

  4. Aplikace rovnic rovnováhy: síla působící na jednu část prutu musí být vyrovnána silou působící na druhou část. Pro tahové a tlakové síly v axiálním směru platí:

\[ \vec{N}(x) + \sum\limits_i\vec{F}_i = \vec{0} \]

kde:

  • \(N\) je normálová síla v řezu,

  • \(F_i\) jsou normálové síly působící na uvolněnou část řezu.

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSk3hmzz70ih-bgGzuydHk6keCyJNqE-sHQNVFBm62DrVT8jJ9D72O7VV0XM98DWKsF8yQ&usqp=CAU

  1. Znaménková konvence

    • Tahoé normálové síly nebo napětí jsou považovány za kladné, pokud prut v daném řezu prodlužuje.

    • Tlakové normálové síly nebo napětí jsou záporná, pokud prut v daném řezu zkracuje.

  2. Vyhodnocení vnitřních sil
    Pokud je v celém prutu stejné zatížení a konstantní průřez, normálová síla \(N\) bude konstantní.
    V případě proměnného zatížení nebo změny průřezu je nutné provést více řezů a analyzovat jednotlivé úseky.

  3. Vyhodnocení vnitřních napětí určíme podělením vnitřní síly \(N(x)\) plochou průřezu \(A(x)\) v daném místě.

    \[\sigma(x) = \frac{N(x)}{A(x)} \]

Změna délky#

Poměrná změna délky v místě řezu je určena působícím napětím podle Hookeova zákona

\[\varepsilon(x) = \frac{\sigma(x)}{E(x)} \]

Platí, že změnu celkové délky je možné získat integrovaním poměrné deformace po délce prutu

\[\Delta l = \int\limits_0^L \varepsilon(x) \mathrm{d}x = \int\limits_0^L \frac{\sigma(x)}{E(x)} \mathrm{d}x = \int\limits_0^L \frac{N(x)}{A(x)E(x)} \mathrm{d}x\]

Má-li homogenní izotropní tyč konstantního průřezu \(A\) a původní délky \(L\) stejnou vnitřní sílou \(N\) platí

\[ \Delta L = \frac{\sigma L}{E} = \frac{N L}{E A} \]

V případě tyče se skokovou (nespojitou) změnou průřezu nebo při působení izolovaných sil platí:

\[ \Delta L = \sum\limits_i \Delta L_i = \sum\limits_i \frac{N_i L_i}{E_i A_i} \]

kde index \(i\) značí úseky, který mají konstatní vnitřní sílu, průřez nebo materiál.

Další studijní materiály#

YouTubeVideo('KUBMgkmXuIw', width=800)