Odvození šikmého vrhu z Lagrange-Eulerových rovnic

Odvodíme rovnice vrhu šikmého pomocí Lagrange-Eulerových rovnic.

Uvažujme projektil o hmotnosti \(m\) pohybující se v 2D rovině (x, y) pod vlivem gravitace \(g\). Lagrangiánský přístup používá zobecněné souřadnice, které jsou v tomto případě jednoduše kartézské souřadnice x a y.

• Kinetická energie (Ek): Kinetická energie projektilu je dána vztahem:

  \[E_k = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\]

  kde \(\dot{x}\) a \(\dot{y}\) jsou časové derivace x a y (tj. rychlosti ve směru x a y).

• Potenciální energie (U): Potenciální energie projektilu vlivem gravitace je dána vztahem:

  \[U = mgy\]

  kde y je vertikální souřadnice.

Definice Lagrangiánu (L):

• Lagrangián je definován jako rozdíl mezi kinetickou a potenciální energií:

  \[L = E_k - U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - mgy\]

Aplikace Lagrange-Eulerových rovnic:

• Lagrange-Eulerovy rovnice jsou dány vztahem:

  \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]

  kde \(q_i\) jsou zobecněné souřadnice (v tomto případě x a y).

Odvození rovnic pohybu pro x:

• Pro souřadnici x máme:

  \[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}\]
  \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = m\ddot{x}\]
  \[\frac{\partial L}{\partial x} = 0\]

  Dosazením těchto hodnot do Lagrange-Eulerovy rovnice:

  \[m\ddot{x} - 0 = 0\]
  \[\ddot{x} = 0\]

  Tato rovnice znamená, že zrychlení ve směru x je nulové, což implikuje konstantní rychlost.

Odvození rovnic pohybu pro y:

• Pro souřadnici y máme:

  \[\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}\]
  \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) = m\ddot{y}\]
  \[\frac{\partial L}{\partial y} = -mg\]

  Dosazením těchto hodnot do Lagrange-Eulerovy rovnice:

  \[m\ddot{y} - (-mg) = 0\]
  \[m\ddot{y} + mg = 0\]
  \[\ddot{y} = -g\]

  Tato rovnice znamená, že zrychlení ve směru y je -g, což je zrychlení vlivem gravitace.

Řešení diferenciálních rovnic:

• Z \(\ddot{x} = 0\) dostaneme:

  \[\dot{x} = v_{0x}\]
  \[x = v_{0x}t + x_0\]

  kde \(v_{0x}\) je počáteční rychlost ve směru x a \(x_0\) je počáteční souřadnice x.

• Z \(\ddot{y} = -g\) dostaneme:

  \[\dot{y} = -gt + v_{0y}\]
  \[y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t + y_0\]

  kde \(v_{0y}\) je počáteční rychlost ve směru y a \(y_0\) je počáteční souřadnice y.

Závěr:

Odvozené rovnice:

• \(x = v_{0x}t + x_0\)

• \(y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t + y_0\)

jsou standardní rovnice vrhu šikmého vrhu, které ukazují, že horizontální pohyb je rovnoměrný a vertikální pohyb je rovnoměrně zrychlený vlivem gravitace. To ukazuje, jak lze Lagrange-Eulerovy rovnice použít k odvození rovnic pohybu pro jednoduchý projektil.