Pevnostní hypotézy a redukované napětí při rovinné napjatosti

Pevnostní hypotézy slouží k určení mezního stavu materiálu, tedy okamžiku, kdy materiál selhává (plastická deformace, lom). Jsou formulovány na základě různých mechanických kritérií a experimentálních pozorování.

Redukované napětí je ekvivalentní jednoosé napětí, které nahrazuje složitý stav napjatosti a umožňuje porovnat víceosou napjatost s mezní pevností materiálu.

\[\sigma_{\rm{red}} \leq \sigma_d \]

kde

• \(\sigma_{\rm{red}}\) je redukované napětí

• \(\sigma_d\) je dovolené napětí určené pomocí tahové zkoušky, např. mez kluzu

Nejčastěji používané pevnostní hypotézy jsou:

1. Hypotéza hlavního napětí (Rankinova hypotéza)

   • Materiál selže, pokud jedno z hlavních napětí překročí mez pevnosti v tahu nebo tlaku.

   • Vhodná pro křehké materiály.

   • Kritérium:

     \[ \max(|\sigma_1|, |\sigma_2|, |\sigma_3|) \geq \sigma_{d} \]

   kde \( \sigma_d \) je dovolené napětí materiálu.

2. Hypotéza maximálního smykového napětí (Trescova hypotéza)

   • Materiál selže, pokud maximální smykové napětí překročí kritickou hodnotu.

   • Vhodná pro houževnaté materiály.

   • Kritérium:

     \[ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \geq \tau_d \]

     kde \( \tau_d \) je mezní smykové napětí.

3. Hypotéza maximální distorze energie (Huber-Mises-Henckyova hypotéza, HMH, vonMises)

   • Materiál selže, pokud překročí kritickou hodnotu energie distorzní deformace.

   • Nejvíce používaná hypotéza pro tvárné materiály.

   • Kritérium:

   \[ \sigma_{HMH} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \geq \sigma_d \]

Redukované napětí při rovinné napjatosti

Při rovinné napjatosti (např. tenká deska zatížená ve své rovině) platí, že třetí hlavní napětí je nulové, tedy \( \sigma_3 = 0 \).

Podle Hubaovy-Misesovy hypotézy je redukované napětí:

\[ \sigma_{HMH} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \]

V případě, že je smykové napětí nenulové, vyjádříme redukované napětí jako:

\[ \sigma_{HMH} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2} \]

kde:

• \( \sigma_x, \sigma_y \) jsou normálová napětí v rovině,

• \( \tau_{xy} \) je smykové napětí.