Statické rovnice rovnováhy v rovině

Statické rovnice rovnováhy v rovině#

Mechanická rovnováha nastává, když je těleso nebo soustava těles v klidu. Statické rovnice rovnováhy jsou základní nástroje pro analýzu rovnováhy tuhých těles v rovině. Tyto rovnice vyjadřují podmínky, které musí být splněny, aby těleso zůstalo v klidu.

Vektorový zápis#

Vektorový zápis statických rovnic rovnováhy vyjadřuje, že výslednice všech sil a výsledný moment sil působících na těleso musí být nulové.

\[\sum \vec{F} = \vec{0}\]
\[\sum \vec{M}_O = \vec{0}\]

Kde:

  • \(\sum \vec{F}\) je vektorový součet všech sil působících na těleso.

  • \(\sum \vec{M}_O\) je vektorový součet momentů všech sil vzhledem k bodu O.

Zápis pomocí složek#

V rovině můžeme vektorové rovnice rozepsat na složky v kartézském souřadnicovém systému (osy x a y).

\[\sum F_x = 0\]
\[\sum F_y = 0\]
\[\sum M_O = 0\]

Kde:

  • \(\sum F_x\) je algebraický součet složek sil ve směru osy x.

  • \(\sum F_y\) je algebraický součet složek sil ve směru osy y.

  • \(\sum M_O\) je algebraický součet momentů sil vzhledem k bodu O.

Význam rovnic#

  • Rovnováha sil: První dvě rovnice (\(\sum F_x = 0\) a \(\sum F_y = 0\)) vyjadřují podmínku, že těleso se nepohybuje posuvně.

  • Rovnováha momentů: Třetí rovnice (\(\sum M_O = 0\)) vyjadřuje podmínku, že těleso se neotáčí.

Použití#

Statické rovnice rovnováhy se používají k řešení mnoha problémů ve statice, například:

  • Určení reakcí vazeb.

  • Analýza nosníků, rámů a jiných konstrukcí.

  • Výpočet sil působících na tělesa v rovnováze.

Znaménková konvence#

Při řešení rovnic je důležité dodržovat znaménkovou konvenci:

  • Složky sil ve směru kladné osy x jsou kladné, proti směru záporné.

  • Složky sil ve směru kladné osy y jsou kladné, proti směru záporné.

  • Momenty sil, které způsobují otáčení proti směru hodinových ručiček, jsou kladné, ve směru hodinových ručiček záporné.

Rovnovážné stavy#

Rovnovážné stavy se dělí podle toho, jak se těleso chová při malém vychýlení z rovnovážné polohy:

  1. Stabilní rovnováha:

    • Při malém vychýlení z rovnovážné polohy se těleso vrací zpět do původní polohy.

    • Příklad: Kulička v důlku.

  2. Labilní rovnováha:

    • Při malém vychýlení z rovnovážné polohy se těleso vzdaluje od původní polohy.

    • Příklad: Kulička na vrcholu kopce.

  3. Indiferentní rovnováha:

    • Při malém vychýlení z rovnovážné polohy zůstává těleso v nové poloze.

    • Příklad: Kulička na vodorovné rovině.

Faktory ovlivňující rovnovážné stavy#

  • Poloha těžiště: Poloha těžiště tělesa hraje klíčovou roli při určování stability.

  • Podpora: Způsob, jakým je těleso podepřeno, ovlivňuje jeho stabilitu.

  • Vnější síly: Vnější síly působící na těleso mohou ovlivnit jeho rovnovážný stav.