Dynamika v rovině - člověk v zatáčce

import numpy as np

Příklad: Síla na nohy osoby stojící na železničním voze při průjezdu zatáčkou

Podle https://www.lehman.edu/faculty/anchordoqui/chapter21.pdf

Úloha:

Osoba o hmotnosti \(m\) stojí na železničním voze, který projíždí rovnou zatáčkou o poloměru \(R\) rychlostí \(v\). Její těžiště je ve výšce \(L\) nad vozem uprostřed mezi jejími nohama, které jsou od sebe vzdáleny \(d\). Osoba je otočena ve směru pohybu. Jaká je velikost normální síly působící na každou nohu?

Řešení:

Začneme výběrem souřadného systému a zakreslíme uvolnění. Rozložíme kontaktní sílu na vnitřní nohou (blíže ke středu pohybu) na tangenciální složku odpovídající statickému tření \(F_{t1}\) a kolmo na ni na složku normální síly \(N_1\). Podobně rozložíme kontaktní sílu mezi vnější nohou (dál od středu pohybu) a zemí na tangenciální složku odpovídající statickému tření \(F_{t2}\) a kolmo na ni na složku normální síly \(N_2\).

Použijeme dvě dynamické rovnice pohybu: pro translační pohyb a pro rotační pohyb kolem těžiště, přičemž si všimneme, že v tomto speciálním případě je \(\alpha = 0\), protože objekt se neotáčí kolem těžiště. Předpokládáme, že bšechny síly působí v těžišti.

Rovnice pro translační pohyb:

• Radialní složka:

\[ - F_{t1} - F_{t2} + m \frac{v^2}{R} = 0 \]

• Vertikální složka:

\[ N_1 + N_2 - mg = 0 \]

Rovnice pro rotační pohyb:

Rotační rovnice pohybu je:

\[ \sum \vec{M_{cm}} = 0 \]

kde jsme si zvolili, že momenty sil určíme vzhledem k těžišti (center of mass).

Pro začátek spočítáme momenty síly o těžiště, přičemž si všimneme, že gravitační síla nepřispívá k momentu, protože působí v těžišti. Nakreslíme diagram momentu síly, kde je zobrazen bod aplikace sil, bod, o který počítáme moment síly, a vektor \(\vec{r}_{cm,1}\) od tohoto bodu k bodu aplikace sil.

Moment síly na vnitřní noze:

\[ \vec{M}_{cm,1} = \vec{r}_{cm,1} \times (\vec{F}_{t1} + \vec{N_1}) = (-\frac{d}{2} N_1 - L \vec{F}_{t1}) \vec{k} \]

Moment síly na vnější noze:

\[ \vec{M}_{cm,2} = \vec{r}_{cm,2} \times (\vec{\vec{F}_{t2}} + \vec{N_2}) = (\frac{d}{2} N_2 + L \vec{F}_{t2}) \vec{k} \]

Součet momentů síly kolem těžiště musí být nula:

\[ {M}_{cm_{\text{ext}}} = {M}_{cm,1} + {M}_{cm,2} = \frac{d}{2}(-N_1 + N_2) + L (\vec{F}_{t2} + \vec{F}_{t1}) \hat{\theta} = 0 \]

To vede k podmínce:

\[ -\frac{d}{2} (N_1 - N_2) + L m \frac{v^2}{R} = 0 \]

Po přepsání:

\[ N_2 - N_1 = \frac{2Lmv^2}{Rd} \]

Dále přepíšeme vertikální složku:

\[ N_2 + N_1 = mg \]

Sečtením rovnic a dělením dvěma dostaneme:

\[ N_2 = \frac{1}{2} mg + \frac{2Lmv^2}{Rd} \]

Pro \(N_1\) získáme:

\[ N_1 = \frac{1}{2} mg - \frac{2Lmv^2}{Rd} \]

Výsledek: vidíme, že normální síla působící na vnější nohu je větší než normální síla působící na vnitřní nohu. Očekáváme tento výsledek, protože s rostoucí rychlostí \(v\) zjistíme, že při maximální rychlosti \(v_{\text{max}}\) normální síla na vnitřní noze jde k nule a začneme se otáčet. Tuto maximální rychlost lze zjistit nastavením \(N_1 = 0\) v což vede k:

\[ v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{gRd}{4L}} \]

V této úloze jsme zároveň nepředpokládali maximální hodnotu statické smykové síly.