Dostředivé a odstředivé zrychlení

Rovnoměrný pohyb po kružnici

Rovnoměrný pohyb po kružnici je specifický typ pohybu, při kterém se objekt pohybuje po kružnici konstantní rychlostí.

Například jakýkoli bod na vrtuli rotující konstantní rychlostí vykonává rovnoměrný kruhový pohyb. Dalšími příklady jsou sekundová, minutová a hodinová ručička hodinek. Je pozoruhodné, že body na těchto rotujících objektech skutečně zrychlují, i když je rychlost rotace konstantní. Abychom to pochopili, musíme analyzovat pohyb pomocí vektorů.

Parametry rovnoměrného kruhového pohybu (1DOF - skalární popis)

• Úhlová poloha (\(\varphi\)):

  • Udává polohu tělesa na kružnici vzhledem k referenčnímu bodu (obvykle počátek).

  • Měří se v radiánech (rad).

  • Změna úhlové polohy s časem popisuje pohyb tělesa po kružnici.

• Úhlová rychlost (\(\omega\)):

  • Udává změnu úhlové polohy za jednotku času.

    \[\omega = \frac{d\varphi}{dt}\]

  • Měří se v radiánech za sekundu (rad/s).

  • Při rovnoměrném pohybu po kružnici je úhlová rychlost konstantní.

• Frekvence (\(f\)):

  • Udává počet oběhů za jednotku času.

    \[f = \frac{\omega}{2\pi}\]

  • Měří se v hertzích (Hz).

  • Frekvence je převrácená hodnota periody.

• Perioda (\(T\)):

  • Udává dobu potřebnou k vykonání jednoho oběhu.

    \[T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}\]

  • Měří se v sekundách (s).

• Obvodová rychlost (\(v\)):

  \[v = r\omega\]

  , kde \(r\) je poloměr kružnice.

  • Obvodová rychlost je tečná k trajektorii.

Pohyb tělesa lze popsat pomocí úhlové polohy jako funkce času:

• \(\varphi(t) = \varphi_0 + \omega t\)

Kde:

• \(\varphi(t)\) je úhlová poloha v čase \(t\)

• \(\varphi_0\) je počáteční úhlová poloha (fáze pohybu)

• \(\omega\) je úhlová rychlost

Dostředivé zrychlení

V jednorozměrné kinematice mají objekty s konstantní rychlostí nulové zrychlení. Nicméně, ve dvou a trojrozměrné kinematice, i když je rychlost konstantní, může mít částice zrychlení, pokud se pohybuje po zakřivené trajektorii, jako je kružnice. V tomto případě se vektor rychlosti mění, nebo

\[ d\vec{v}\text{/}dt\ne 0. \]

Jak se částice pohybuje proti směru hodinových ručiček v čase \(\Delta t\) po kruhové dráze, její polohový vektor se posouvá z \( \vec{r}(t)\) na \(\vec{r}(t+\Delta t)\). Vektor rychlosti má konstantní velikost a je tečnou k dráze, když se mění z \(\vec{v}(t)\) na \(\vec{v}(t+\Delta t)\) mění se pouze jeho směr. Protože vektor rychlosti \(\vec{v}(t)\) je kolmý k polohovému vektoru \(\vec{r}(t)\) jsou trojúhelníky tvořené polohovými vektory a \(\Delta\vec{r}\) a vektory rychlosti \(\Delta \vec{v}\) podobné. Navíc, protože \( |\vec {r}(t)|=|\vec{r}(t+\Delta t)|\) a \(|\vec{v}(t)|=|\vec{v}(t+\Delta t)|\) jsou oba trojúhelníky rovnoramenné. Z těchto skutečností můžeme učinit tvrzení

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta r}{r} \]

nebo

\[ \Delta v=\frac{v}{r}\Delta r\]

Velikost zrychlení můžeme najít z:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}\]

Směr zrychlení lze také najít pozorováním, že když se \( \text{Δ}t \) a tedy \( \text{Δ}\theta \) blíží nule, vektor \( \text{Δ}\overset{\to }{v} \) se blíží směru kolmému na \( \overset{\to }{v}. \) V limitě \( \text{Δ}t\to 0,\) \( \text{Δ}\overset{\to }{v} \) je kolmý na \( \overset{\to }{v}. \) Protože \( \overset{\to }{v} \) je tečna ke kružnici, zrychlení \( \frac{d\overset{\to }{v}}{dt} \) směřuje do středu kružnice. Shrnutím, částice pohybující se po kružnici konstantní rychlostí má zrychlení o velikosti

\[{a}_{\text{C}}=\frac{{v}^{2}}{r}.\]

Směr vektoru zrychlení směřuje do středu kružnice. Toto je radiální zrychlení a nazývá se dostředivé (centropetální) zrychlení, proto mu dáváme dolní index c.

Note

Slovo centripetální pochází z latinských slov centrum (což znamená „střed“) a petere (což znamená „hledat“), a má tedy význam „hledající střed“.

V učebnicích se často tvrdí, že “odstředivá síla neexistuje”. Když satelit obíhá Zemi, není udržován v rovnováze mezi dvěma stejnými a opačnými silami, tedy gravitací směřující k Zemi a odstředivou silou směřující ven. Satelit má tentenci pohybovat se přímočaře a existuje pouze jedna síla, gravitační, která zakřivuje jeho dráhu.

Note

Slovo centrifugální (odstředivý) pochází z latinských slov centrum, “střed,” a fugere, “utíkat,” takže slovo znamená “utíkající od středu.” Odstředivou sílu studovali fyzikové již v roce 1629 a samotný termín používal Sir Isaac Newton ve své latinské podobě vis centrifuga v roce 1687.

Na druhé straně, dostředivou sílu moc necítíme ale když autem projedeme zatáčku příliš rychle a cítíme se odmrštěni od středu zakřivení naší dráhy, a tedy působí na nás “odstředivá síla” se zdá být velmi reálná. Celý problém, který nastal je v popisu naěho vztažného systému.

Zatímco centripetální síla je skutečná fyzikální síla, odstředivá síla je zdánlivá (neboli fiktivní) síla. Jinými slovy, když roztočíte kámen uvázaný na provázku, provázek na kámen působí skutečnou sílou směřující dovnitř — centripetální silou. Z pohledu kamene to však vypadá, jako by provázek byl tažen ven — to je zdánlivá odstředivá síla.

Pokud pozorujete rotující systém zvenčí, vidíte, že na rotující těleso působí dovnitř směřující centripetální síla, která ho nutí pohybovat se po kruhové dráze. Ale pokud se sami točíte například na kolotoči, zažíváte pocit, že vás něco tlačí ven od středu — tedy odstředivou sílu. Ve skutečnosti ale cítíte centripetální sílu, která vás drží na místě a brání vám vyletět po tečně.

Představte si, že jedete autem po nakloněné zatáčce. Když to sledujete zvenčí, vidíte, jak na auto působí centripetální síla, která ho tlačí dovnitř zatáčky a drží ho na kruhové dráze. Pokud ale sedíte uvnitř auta, cítíte, jako by vás nějaká síla tlačila ven — to je odstředivá síla.